SGi's Blog

* 十七世纪 ：
农民(peasant)的一袋土豆卖了10美元。他的成本为4/5的销售价格。他的利润是多少？
* 十八世纪前期：
农民(farmer)的一袋土豆卖了10美元。他的成本为4/5的销售价格，也就是8美元。他的利润是多少？
* 十八世纪后期(新数学) ：
一位农民用土豆组成的集合P换了钱组成的集合M。集合M的势等于10 ，M中每个元素的值为1美元 。画10个大圆点代表集合M中的元素。成本集合C也这样表示，它比M少两个大圆点。把C作为M的子集并回答如下问题：利润集合的势是多少？
* 20世纪80年代：
农民的一袋土豆卖了10美元。他的生产成本是8美元，他的利润是2美元。把“土豆”加上下划线 ，并与你的同学讨论。

* 20世纪90年代：
农民的一袋土豆卖了10美元。他或她的生产成本是0.8倍的他或她的收入。用你的计算器画出收入-成本图像。运行”马铃薯”程序，以确定利润。与你小组的同学讨论你的结果。写一篇简短的论文，在现实世界中的经济学中分析这个例子。

* 1960s:
A peasant sells a bag of potatoes for $10. His costs amount to 4/5 of his selling price. What is his profit?
* 1970s:
A farmer sells a bag of potatoes for $10. His costs amount to 4/5 of his selling price, that is, $8. What is his profit?
* 1970s (new math):
A farmer exchanges a set P of potatoes with set M of money. The cardinality of the set M is equal to 10, and each element of M is worth $1. Draw ten big dots representing the elements of M. The set C of production costs is composed of two big dots less than the set M. Represent C as a subset of M and give the answer to the question: What is the cardinality of the set of profits?
* 1980s:
A farmer sells a bag of potatoes for $10. His production costs are $8, and his profit is $2. Underline the word “potatoes” and discuss with your classmates.
* 1990s:
A farmer sells a bag of potatoes for $10. His or her production costs are 0.80 of his or her revenue. On your calculator, graph revenue vs. costs. Run the POTATO program to determine the profit. Discuss the result with students in your group. Write a brief essay that analyzes this example in the real world of economics.

来源：http://www.tvdsb.on.ca/banting/courses/math/Comics.htm

抱怨数学老师布置了太多作业？或者自己不想费工夫去做低级重复的数学题？又或者你真的需要某道数学难题的正确答案？Mathway 是一个不错的去处，在这里你只需输入数学式子就能得出答案，包括基础数学、初级代数、代数、初级微积分、微积分、三角函数等各种数学细分科目，且解题过程非常详细，还可以打印、分享、编辑。

很赞编写这个网站程序的主人，他确实没必要来做这种重复性的技术活儿了，同时还给这么多数学作业忧郁症患者带来了福利，——如果让他代写数学作业，肯定也不在话下。

下面来看我的示范，一个简单的不定积分：
题目：

参考答案

The integral of a constant with respect to x is the constant times x.

To find the integral of find the anti-derivative. The formula for the anti-derivative of a basic monomial is

The indefinite integral also has some unknown constant. This can be proven by completing the opposite operation (derivative) in which C would go to 0. The value of C can be found in cases when an initial condition of the function is given.

前几天在Google的邮件列表里面看到了这题，号称是世界最难的初等几何题，果然比中国的竞赛题不知道弱多少呢。

花了点时间总算搞定了，很简洁的证明，分享一下。

首先说一下要求：

仅使用初等几何原理来确定角x的度数，并写出证明过程。
注意：你只能使用初等几何原理来解这道题，也就是说只能使用三角形的内角总和是180度;等腰和等边三角形的特性;平行线的对顶角相等;全等三角形的角边角、边角边、边边边定理以及三角形相似的角角角定理这一类的基础知识。不能使用正弦余弦定理。

证明：

作CD//AB交BC于F，连结AF，令AF与BD的交点为G，连结CG。

∵DF//AB 易知△CDF是等腰三角形

∴CD=CF

∵AB=AB,∠CAB=∠CBA,AD=BF ∴△DAB≌△FBA

∴∠FAB=∠DBA=∠AGB=60°

∵DF//AB

∴∠DFA=∠FAB=60°=∠FDB

∴△DFG是正三角形 ∴DF=FG

∵∠CAF=∠FCA=20°

∴ CF=FA

接下去证明一对很有趣的全等三角形，也是本题的关键所在：

∵AC=CA,∠ACG=∠EAC=10°,∠GAC=∠ECA=20° ∴△CEA≌△AGC

∴CE=AG

∵CF=AF,CE=AG

∴CF-CE = AF-AG即EF=FG

∵△DFG是正三角形

∴EF=FG=DF

∴△DFE是等腰三角形

∵∠CFD=∠CBA=80°

∴∠FED=∠FDE=50° 又 ∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA = 30°

∴x即∠DEA=∠DEF-∠AEB=20°

证毕

转载自阅微堂

1964年3月13号凌晨3点，纽约酒吧经济Kitty Genovese在即将到达寓所时，遭到持刀暴徒的侵犯，她惊恐的尖叫并恳求帮助。但她的38户邻居，很多人走到窗户前观望了片刻，目睹她在歹徒手中挣 扎，但直到歹徒离开，才有人打电话报警。但Genovese却未能得到及时救治很快就死去了。^[1]

为什么Kitty的邻居没有一个人援助她？人们普遍归因于人的异化与冷漠。但心理学家有不同的看法，大量的实验和研究显示在公共场所观看危机事件的旁观者越多，愿意提供帮助的人就越少，这被称为旁观者效应。 为什么会这样呢？心理学家

…猜测，当旁观者的数目增加时，任何一个旁观者都会更少地注意到事件的发生，更少地把它解释为一个重大的问题或紧急情况，更少地认为自己有采取行动的责任。^[1]

下面用经济学中的纳什均衡^[2]的方法定量地说明，在人数变多时，的确是任何一个人提供帮助的可能性变小，而且存在某人提供 帮助的可能性也在变小！通俗的说，在开头的报警案例中，围观者（邻居）越多，报警的可能性越小！ (这些来源于2年前与同学的讨论，只不过当时还不知道心理学上也有对应的分析。) 在这里假设人都是利益动物（也就说下面的分析不考虑社会心理学中提到的人的心理因素）。在最开始的抢劫案件中，假设有个围观者，有人提供帮助（报警），每个人都能得到的固定收益，但报警者会有额外损失（可以看成提供帮助所消耗的时间，精力或者报警者所可能遇到的危险——注意最近的彭宇案件）。容易知道，在时，一个完全理性的人不可能去报警，所以我们只考虑的情形。我们来分析一下，在这个模型里面，每个人将如何行动？ 按照上面的假定，对于某个人A而言，他的收益矩阵为：

	其他n-1个人不报警	其他n-1个人报警
A不报警	0
A报警

我们求上面的收益矩阵的纳什均衡，由于每个人都是对称的（暂且只考虑对称的纳什均衡），无妨假设每个人不报警的概率为，不难得到纳什均衡在达到。注意是随着人数增大而增大的！更重要的是，存在某人报警的概率随着人数的增加而减少！ 注意，上面的结果也提供了报警的概率与的相关关系。 更多推断：

• 相对而言，城市居民比小乡村居民更冷漠：在人少的地方获得帮助的可能性反而更大。
• 朋友并不是越多越好的(?)
• 求助时不要同时向若干人求助，即便如此也不要让他们互相知道。
• 常在新闻里看到，一人受伤或者…，多少多少人围观，却没有人提供帮助。但从上面的分析可以看出，更多人看热闹并不代表着社会道德水平更低。
• 一个社会的道德水平，如不考虑别的因素（社会和心理上的），将由和的比值决定，而在受益确定的情况下，完全由决定，这里的是提供帮助的成本（包括时间，精力，以及有可能遭致的打击报复，甚至忘恩负义者的反咬）。
• 和谐社会，需要努力降低前面的值，通过给与金钱上或者精神上的奖励。
• 最近的彭宇事件，根据网络上的反应，这件事情大大提高了，将导致道德水平下降。[西乔有一篇文章老太摔倒均衡点给出了类似的分析]

参考：

[1] David G. Myers, Social Psychology – 社会心理学, P363-369. [2] 纳什均衡, 简单说来，纳什均衡是指相互作用的经济主体，每一方都在另一方所选择的战略为既定时，选择自己的最优战略。一旦双方达到了这种纳什均衡，都不会再有做出不同决策的冲动或激励。其最重要的案例是囚徒困境。

今天在上课的时候老师提到了“数学家谱”，就放上来大家一起看看。